一、容斥原理

　　容斥原理關鍵就兩個公式：

　　1． 兩個集合的容斥關系公式：A+B=A∪B+A∩B

　　2． 三個集合的容斥關系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

　　請看例題：

　　【例題1】某大學某班學生總數(shù)是32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是(   )

　　A．22         B．18        C．28       D．26

　　【解析】設A=第一次考試中及格的人數(shù)(26人),B=第二次考試中及格的人數(shù)(24人),顯然,A+B=26+24=50； A∪B=32-4=28，則根據(jù)A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案為A。

　　【例題2】電視臺向100人調查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個頻道都看過。問兩個頻道都沒看過的有多少人？

　　【解析】設A=看過2頻道的人(62)，B=看過8頻道的人(34)，顯然，A+B=62+34=96；

　　A∩B=兩個頻道都看過的人(11)，則根據(jù)公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，兩個頻道都沒看過的人數(shù)為100-85=15人。

　　二、作對或做錯題問題

　　【例題】某次考試由30到判斷題，每作對一道題得4分，做錯一題倒扣2分，小周共得96分，問他做錯了多少道題？

　　A．12         B．4         C．2         D．5

　　【解析】

　　方法一

　　假設某人在做題時前面24道題都做對了,這時他應該得到96分,后面還有6道題,如果讓這最后6道題的得分為0,即可滿足題意．這6道題的得分怎么才能為0分呢?根據(jù)規(guī)則,只要作對2道題,做錯4道題即可,據(jù)此我們可知做錯的題為4道,作對的題為26道．

　　方法二

　　作對一道可得4分,如果每作對反而扣2分,這一正一負差距就變成了6分．30道題全做對可得120分,而現(xiàn)在只得到96分,意味著差距為24分,用24÷6=4即可得到做錯的題,所以可知選擇B

　　三、植樹問題

　　核心要點提示：①總路線長②間距(棵距)長③棵數(shù)。只要知道三個要素中的任意兩個要素，就可以求出第三個。

　　【例題1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數(shù)走到底15棵樹共用了7分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹后就往回走，當他回到第5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數(shù)時就開始往回走？

　　A．第32棵      B．第32棵      C．第32棵      D．第32棵

　　解析：李大爺從第一棵數(shù)走到第15棵樹共用了7分鐘，也即走14個棵距用了7分鐘，所以走沒個棵距用0．5分鐘。當他回到第5棵樹時，共用了30分鐘，計共走了30÷0．5=60個棵距，所以答案為B。第一棵到第33棵共32個棵距，第33可回到第5棵共28個棵距，32+28=60個棵距。

　　【例題2】為了把2008年北京奧運會辦成綠色奧運，全國各地都在加強環(huán)保，植樹造林。某單位計劃在通往兩個比賽場館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現(xiàn)運回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：( ）

　　A．8500棵   B．12500棵   C．12596棵    D．13000棵

　　解析：設兩條路共有樹苗ⅹ棵，根據(jù)栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可根據(jù)路程相等列出方程：(ⅹ+2754-4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因為2條路共栽4排，所以要減4)

　　解得ⅹ=13000，即選擇D。

　　四、和差倍問題

　　核心要點提示：和、差、倍問題是已知大小兩個數(shù)的和或差與它們的倍數(shù)關系，求大小兩個數(shù)的值。(和+差)÷2=較大數(shù)；(和-差)÷2=較小數(shù)；較大數(shù)-差=較小數(shù)。

　　【例題】甲班和乙班共有圖書160本，甲班的圖書是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？

　　解析：設乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班和乙班圖書本書的合相當于乙班圖書本數(shù)的4倍。乙班160÷（3+1)=40(本)，甲班40×3=120(本)

 

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